Как узнать о нажатии non-menu клавиши в момент, когда меню показано?

Создайте обработчик сообщения WM_MENUCHAR.

unit Unit1;

interface

uses
Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, Menus;

type 
    TForm1 = class(TForm)
        MainMenu1: TMainMenu;
        One1: TMenuItem;
        Two1: TMenuItem;
        THree1: TMenuItem;
    private
        {Private declarations}
        procedure WmMenuChar(var m : TMessage); message WM_MENUCHAR;
    public
        {Public declarations}
end;

var
    Form1: TForm1;

implementation

{$R *.DFM}

procedure TForm1.WmMenuChar(var m : TMessage);
begin
    Form1.Caption := 'Non standard menu key pressed';
    m.Result := 1;
end;
end.