Как запросить страницу с сайта?

Это можно сделать с помощью TClientSocket.

unit Unit1;
 
interface
 
uses Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,
  StdCtrls, ScktComp;
 
const Request: AnsiString = 'GET / HTTP/1.1' + #$D#$A +
  'Accept: application/vnd.ms-excel, application/msword, */*' + #$D#$A +
    'Accept-Language: en-us' + #$D#$A +
    'Accept-Encoding: gzip, deflate' + #$D#$A +
    'User-Agent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 4.01; Windows 98)' + #$D#$A +
    'Host: vingrad.com' + #$D#$A +
    'Connection: Keep-Alive' + #$D#$A + #$D#$A;
 
type
  TForm1 = class(TForm)
    Skt: TClientSocket;
    Button1: TButton;
    Memo1: TMemo;
    procedure Button1Click(Sender: TObject);
    procedure SktRead(Sender: TObject; Socket: TCustomWinSocket);
    procedure SktConnect(Sender: TObject; Socket: TCustomWinSocket);
  private
{ Private declarations }
  public
{ Public declarations }
  end;
 
var Form1: TForm1;
 
implementation
 
{$R *.DFM}
 
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  Skt.Host := 'vingrad.ru';
  Skt.Port := 80;
  Skt.Open;
end;
 
procedure TForm1.SktRead(Sender: TObject; Socket: TCustomWinSocket);
begin
  Memo1.Lines.Text := Memo1.Lines.Text + Socket.ReceiveText;
end;
 
procedure TForm1.SktConnect(Sender: TObject; Socket: TCustomWinSocket);
begin
  Socket.SendText(Request);
end;
end.

Request - это запрос который посылает мой IE5.

В принципе, по протоколу HTTP он может ограничиваться:

'GET / HTTP/1.1'+#13+#13. Если хотите запросить оределенный документ: 'GET /<полный путь> HTTP/1.1'+#13+#13.

Конечно, всегда можно воспользоваться готовыми компонентами.

Автор: Fantasist

{
Присоедините следующий обработчик к Вашему TClientSocket. 
Он получает файл с сервера и помещает его в строковую переменную FText string variable. Однако он не убирает заголовок, который так же посылается вебсервером.
 
Не забудьте задать правильный адрес сервера в объекте Socket. Установите порт 80. А затем откройте его при помощи команды "Socket.Open;".
 
Автор: E.J.Molendijk
} 
 
 
Const 
  WebPage = '/index.html'; 
Var 
  FText   : String; 
 
procedure TForm1.SocketWrite(Sender: TObject; 
  Socket: TCustomWinSocket); 
begin 
  Socket.SendText('GET '+Webpage+' HTTP/1.0'#10#10); 
end; 
 
procedure TForm1.SocketRead(Sender: TObject; 
  Socket: TCustomWinSocket); 
begin 
  FText := FText +  Socket.ReceiveText 
end; 
 
procedure TForm1.SocketConnecting(Sender: TObject; 
  Socket: TCustomWinSocket); 
begin 
  FText := ''; 
end; 
 
procedure TForm1.SocketDisconnect(Sender: TObject; 
  Socket: TCustomWinSocket); 
begin 
{ --- } 
{ ЗДЕСЬ ВЫ МОЖЕТЕ ОБРАБАТЫВАТЬ ВАШ FText !!! } 
{ --- } 
end; 
 
procedure TForm1.SocketError(Sender: TObject; 
  Socket: TCustomWinSocket; ErrorEvent: TErrorEvent; 
  var ErrorCode: Integer); 
begin 
  ErrorCode:=0; { Ошибки игнорируем }
end;

Взято из https://forum.sources.ru