Основы 3D-математики - векторные и матричные преобразования

Векторы

Вектор - направленный отрезок, имеющий направление и длину. Векторы обозначаются так: a = (x,y,z), например, b = (0,1,-2).

Еще одно представление вектора: AB = (x,y,z).

AB = (x,y,z) = (bx-ax,by-ay,bz-az),

где A и B - 2 точки, A(ax,ay,az) и B(bx,by,bz),
A - начало вектора, B - конец вектора.

Длина вектора

Длина вектора, |a|, считается так:

|a| = sqrt(ax2+ay2+az2).

Сложение векторов.

a + b = c;
a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz).

т. е. как результат мы получаем вектор.

Вычитание векторов.

c - a = b;
c - a = (cx - ax, cy - ay, cz - az).

как результат - также мы получаем вектор.

Cкалярное произведение векторов.(dot)

Скалярное произведение 2х векторов - произведение длин 2х векторов на cos угла между ними α. Скалярное произведение векторов - это длина проекции вектора a на вектор b.

a . b = |a| |b| cos α;

или

a . b = axbx + ayby + azbz;

Следствие:
α - угол между двумя векторами:

cos α = a . b / (|a| |b|);

Проекция одного вектора на другой.

Для того, чтобы вычислить проекцию вектора b на вектор а требуется просто произвести скалярное умножение этих векторов, а затем получить произведение получившегося результата на вектор b. Обозначим искомый вектор как c. тогда:

c = (a . b) b;

фактически, мы находим длину проекции и, умножая ее на вектор, проекцию которого мы нашли, маштабируем его до нужного размера.

Умножение вектора на вектор.(cross)

Умножая вектор a на вектор b, мы получим вектор, перпендикулярный плоскости, которую определяют вектора a и b.

a x b = ( aybz - byaz, azbx - bzax, axby - bxay );

фактически, таким образом находиться вектор нормали к полигонам.

Матрицы

Здесь я постарался вкратце изложить то, что мы будем делать с матрицами.

Скалярное произведение векторов:

[ a ] [ d ]
[ b ] * [ f ] = a*d + b*f + c*g
[ c ] [ g ]

Векторное произведение:

[ a ] [ d ] [ b*f - c*e ]
AxB = [ b ] x [ e ] = [ c*d - a*f ]
[ c ] [ f ] [ a*e - b*d ]

Сложение матриц:

[ 1 2 3 ] [ 10 11 12 ] [ 1+10 2+11 3+12 ]
[ 4 5 6 ] + [ 13 14 15 ] = [ 4+13 5+14 6+15 ]
[ 7 8 9 ] [ 16 17 18 ] [ 7+16 8+17 9+18 ]

Умножение матриц:

[ 1 2 3 ] [ 10 11 12 ] [ 1*10+2*13+3*16 1*11+2*14+3*17 1*12+2*15+3*18 ]
[ 4 5 6 ] * [ 13 14 15 ] = [ 4*10+5*13+6*16 4*11+5*14+6*17 4*12+5*15+6*18 ]
[ 7 8 9 ] [ 16 17 18 ] [ 7*10+8*13+9*16 7*11+8*14+9*17 7*12+8*15+9*18 ]

Очень важным является тот факт, что (AB)С = A(BC)

Векторные и матричные преобразования

Параллельный перенос:

Переносим точку (x,y,z) на вектор (dx,dy,dz), в результате получим точку с координатами (x+dx, y+dy, z+dz);

Поворот:

Поворачиваем точку (x,y) на угол α :

x' = x cos α - y*sin α
y' = x sin α + y*cos α

для трехмерного случая - аналогично для каждой плоскости.

ясно, что если нам потребуется (а нам потребуется :) ) проводить для каждой точки в пространстве параллельный перенос + поворот в пространстве, то придеться сделать огромное количество преобразований.

можно построить матрицы преобразований, помножив точку - вектор на которую, мы получим результат - координаты искомой точки.

матрица параллельного переноса:

[ 1 0 0 0 ]
[ 0 1 0 0 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ x y z 1 ]

матрица растяжения/сжатия:

[ z 0 0 0 ]
[ 0 y 0 0 ]
[ 0 0 x 0 ]
[ 0 0 0 1 ]

матрица поворота вокруг оси x:

[ 0   0       0      0 ]
[ 0   cos α   sin α  0 ]
[ 0   -sin α  cos α  0 ]
[ 0   0       0      1 ]

матрица поворота вокруг оси y:

[ cos α  0  -sin α  0 ]
[ 0      1  0       0 ]
[ sin α  0  cos α   0 ]
[ 0      0  0       1 ]

матрица поворота вокруг оси z:

[ cos α  sin α  0  0 ]
[-sin α  cos α  0  0 ]
[ 0      0      1  0 ]
[ 0      0      0  1 ]

теперь - зачем нужны матрицы в 3D-програмировании, если можно все сделать с помощью векторов, и если, например, поворот точки с помощью векторов занимает меньше операций, чем используя матрицы.

например, мы отодвигаем камеру и поворачиваем ее. для этого требуется произвести серию операций (переносов, поворотов) с точками (вершинами полигонов) в 3D-сцене. т.е. для каждой точки произвести сначала параллельный перенос, а затем - повороты по всем осям. при использовании векторов мы просто проведем все эти операции отдельно для каждой точки... что весьма ресурсоемко. или - матричные параллельные переносы, повороты... еще более ресурсоемко, но вспомним:

(A*B)*C = A*(B*C)

для матриц.. а нам требуется провести такие преобразования: aABCD, где - а-точка-вектор, над которым требуется произвести действия, а A,B,C,D - матрицы переноса и поворотов. Мы вполне можем не последовательно умножать точку-вектор a на матрицы переносов, а сначала перемножить эти матрицы, а затем просто умножать получившуюся матрицу на каждую точку, которую требуется сместить - перемножение 4х матриц, а затем умножение 1 вектора на 1 матрицу на каждую точку по сравнению с подвержением каждой точки векторным преобразованиям - весьма и весьма значительное сокращение производимых операций.