Sources
Delphi Russian Knowledge Base
DRKB - это самая большая и удобная в использовании база знаний по Дельфи в рунете, составленная Виталием Невзоровым

НОД и НОК

01.01.2007

НОД, решение ax+by=1, нахождение обратного элемента по модулю

 

 

·Алгоритм Евклида
 
·Бинарный алгоритм Евклида
 
·Алгоритм решения уравнения ax+by = 1
·Расширенный алгоритм Евклида:
Даны x, y. Находит a, b, v: ax+by = d, где d=НОД(x, y)
·Нахождение обратного элемента по модулю
Обратный элемент для x из Zn - такой a из Zn, что ax = 1(mod n)
·НОК
 

 
Алгоритм Евклида.

 

1. Вычислим r - остаток от деления числа a на b, a = bq+r, 0 <= r < b.

2. Если r = 0, то b есть искомое число.

3. Если r =/= 0, то заменим пару чисел (a,b) парой (b,r)

и перейдем к шагу 1.

int NOD(int a,int b)
 
{
   
while(a!=0 && b!=0)
   
{
       
if(a>=b) a=a%b;
           
else b=b%a;
   
}
 
return a+b; // Одно - ноль
 
}

При вычислении наибольшего общего делителя (a,b) с помощью алгоритма Евклида будет выполнено не более 5p операций деления с остатком, где p есть количество цифр в десятичной записи меньшего из чисел a и b.

 
Бинарный алгоритм Евклида.

 

Этот алгоритм использует соотношения для НОД:
 
НОД(2*a, 2*b) = 2*НОД(a,b)
НОД(2*a, b) = НОД(a,b) при нечетном b,
 
Он иллюстрируется следующей программой:

 

  m:= a; n:=b; d:=1;
 
{НОД(a,b) = d * НОД(m,n)}
 
while not ((m=0) or (n=0)) do begin
   
if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 0) then begin
      d
:= d*2; m:= m div 2; n:= n div 2;
   
end else if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 1) then begin
      m
:= m div 2;
   
end else if (m mod 2 = 1) and (n mod 2 = 0) then begin
      n
:= n div 2;
   
end else if (m mod 2=1) and (n mod 2=1) and (m>=n)then begin
      m
:= m-n;
   
end else if (m mod 2=1) and (n mod 2=1) and (m<=n)then begin
      n
:= n-m;
   
end;
 
end;
 
{m=0 => ответ=d*n; n=0 =>  ответ=d*m}  

 
Алгоритм решения уравнения ax+by = 1.

 

1.Определим матрицу E:

E =

( 1 0 )
( 0 1 )

2. Вычислим r - остаток от деления числа a на b, a=bq+r, 0 <= r < b.

3. Если r=0, то второй столбец матрицы E даёт вектор ( x, y ) решений уравнения.

4. Если r =/= 0, то заменим матрицу E матрицей

E *

( 0 1 )
( 1 -q )

5. Заменим пару чисел (a,b) на (b,r) и перейдем к шагу 2.

 
Расширенный алгоритм Евклида.

 

Алгоритм Евклида можно расширить так, что он не только даст НОД(a,b)=d, но и найдет целые числа x и y, такие что ax + by = d.

Псевдокод.

НА ВХОДЕ: два неотрицательных числа a и b: a>=b

НА ВЫХОДЕ: d=НОД(a,b) и целые x,y: ax + by = d.

1. Если b=0 положить d:=a, x:=1, y:=0 и возвратить (d,x,y)

2. Положить x2:=1, x1:=0, y2:=0, y1:=1

3. Пока b>0

   3.1 q:=[a/b], r:=a-qb, x:=x2-qx1, y:=y2-qy1

   3.2 a:=b, b:=r, x2:=x1, x1:=x, y2:=y1, y1:=y

4. Положить d:=a, x:=x2, y:=y2 и возвратить (d,x,y)

Исходник на Си.

/* Author:  Pate Williams (c) 1997 */

#include <stdio.h>
 
#define DEBUG
 
 
void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)
 
/* calculates a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */
 
{
 
 
long q, r, x1, x2, y1, y2;
 
 
 
if (b == 0) {
 
   
*d = a, *x = 1, *y = 0;
 
   
return;
 
 
}
 
  x2
= 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;
 
 
#ifdef DEBUG
  printf
("------------------------------");
  printf
("-------------------\n");
  printf
("q    r    x    y    a    b    ");
  printf
("x2   x1   y2   y1\n");
  printf
("------------------------------");
  printf
("-------------------\n");
 
#endif
 
 
while (b > 0) {
 
    q
= a / b, r = a - q * b;
 
   
*x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;
 
    a
= b, b = r;
 
    x2
= x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;
 
   
#ifdef DEBUG
    printf
("%4ld %4ld %4ld %4ld ", q, r, *x, *y);
    printf
("%4ld %4ld %4ld %4ld ", a, b, x2, x1);
    printf
("%4ld %4ld\n", y2, y1);
   
#endif
 
 
}
 
 
*d = a, *x = x2, *y = y2;
 
 
#ifdef DEBUG
  printf
("------------------------------");
  printf
("-------------------\n");
 
#endif
 
}
 
 
 
int main(void)
{
 
 
long a = 4864, b = 3458, d, x, y;
 
  extended_euclid
(a, b, &x, &y, &d);
 
  printf
("x = %ld y = %ld d = %ld\n", x, y, d);
 
 
return 0;
}

Алгоритм работает за O(log2n) операций.

 
Нахождение обратного элемента по модулю

 

 

Для начала заметим, что элемент a кольца Zn обратим тогда и только тогда, когда НОД(a,n)=1. То есть ответ есть не всегда. Из определения обратного элемента прямо следует алгоритм.

Псевдокод.

НА ВХОДЕ: а из Zn.

НА ВЫХОДЕ: обратный к а в кольце, если он существует.

1. Использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения

  x и y, таких что ax + ny = d, где d=НОД(a,n).

2. Если d > 1, то обратного элемента не существует.

   Иначе возвращаем x.

Исходник на Си.

/*  Author:  Pate Williams (c) 1997 */
 
 
#include <stdio.h>
 
void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)
 
/* calculates a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */
 
{
 
long q, r, x1, x2, y1, y2;
 
 
if (b == 0) {
 
   
*d = a, *x = 1, *y = 0;
 
   
return;
 
}
 
  x2
= 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;
 
 
while (b > 0) {
 
    q
= a / b, r = a - q * b;
 
   
*x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;
 
    a
= b, b = r;
 
    x2
= x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;
 
 
}
 
 
*d = a, *x = x2, *y = y2;
 
}
 
 
long inverse(long a, long n)
 
/* computes the inverse of a modulo n */
 
{
 
 
long d, x, y;
 
 
  extended_euclid
(a, n, &x, &y, &d);
 
 
if (d == 1) return x;
 
 
return 0;
 
}
 
 
int main(void)
 
{
 
 
long a = 5, n = 7;
 
 
  printf
("the inverse of %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));
 
  a
= 2, n = 12;
 
  printf
("the inverse of %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));
 
 
return 0;
}

 
НОК.

 

НОК( a , b) = a*b / НОД(a, b)

 

https://algolist.manual.ru